(7. Logicko-matematická inteligence)
Rádi bychom však zdůraznili, že Piaget si kladl správné otázky a že se mu podařilo najít hlavní faktory, které vývoj logicko-matematického myšlení ovlivňují. Zcela správně objevil počátky logicko-matematické inteligence v manipulaci dítěte s předměty fyzického světa, pochopil základní význam objevu čísla, postupný přechod od fyzické manipulace s předměty k interiorizovaným transformacím činnosti, význam souvislostí mezi jednotlivými činy a zvláštní povahu vyšších stupňů vývoje, kdy dítě začíná pracovat s hypotetickými výroky, zkoumá vztahy, které mezi těmito výroky panují, a důsledky, které z nich lze vyvodit. Netvrdíme, že zacházení s čísly je totéž co matematika a že vše, co platí pro matematiku, vystihuje stejně dobře i logiku nebo jiné vědecké obory. V této kapitole uvedeme názory mnoha vědců, kteří se zabývají právě rozdíly mezi různými oblastmi logicko-matematického intelektu, z nichž každá má poněkud odlišnou orientaci a zabarvení. Souhlasíme však s Piagetovým názorem, že jde o soubor navzájem souvisejících schopností, a hledání souvislostí mezi nimi řadíme rozhodně mezi Piagetovy zásluhy.
I další vědci, jejichž oborem byla matematika, logika či přírodní vědy, upozorňovali na vzájemné propojení těchto vědeckých oborů. Matematik Brian Rotman tvrdí, že „celá současná matematika vychází ze samozřejmosti počítání … vše je odvozeno z poselství, které obsahují čísla 1, 2, 3“ (Rotman, 1977) [29]. Velká postava matematiky osmnáctého století Leonhard Euler vyzdvihoval význam čísla, protože právě číslo tvoří základ matematického vývoje:
Vlastnosti čísel, jak je známe dnes, byly objeveny převážně pozorováním a většinou byly známy daleko dříve, než se je podařilo potvrdit správně vedenými pokusy… Měli bychom tedy objevené vlastnosti znovu analyzovat a hledat důkazy, které by je potvrdily, či vyvrátily. Závěry této analýzy budou v každém případě užitečné. (Polya, 1957) [30]
Willard Quine (1950) [31], významný logik posledních padesáti let, vidí rozdíl mezi matematikou a logikou v tom, že logika pracuje s výroky a matematika s abstraktními nonverbálními entitami. „Vyšší oblasti“ logiky však podle Quinea s matematikou přirozeně splývají. Čísla se ostatně na nejvyšších úrovních matematiky vyskytují poměrně málo. Zájem matematiků se soustřeďuje spíše na obecné pojmy než na konkrétní propočty a cílem se stává formulace pravidel, která by platila pro co největší okruh problémů. Jak se však snažili ukázat i Whitehead a Russel, základem i těch nejkomplexnějších matematických tvrzení jsou stále stejné jednoduché logické schopnosti – určitý druh intuice, která se u dítěte objevuje už tehdy, když se u něj začíná rozvíjet operační způsob myšlení.
Sám Russel k tomu poznamenal, že dějiny logiky a matematiky jsou sice různé, že se však tyto obory v moderní době velmi přiblížily: „Následkem toho je nyní zcela nemožné najít mezi nimi hranici: tyto dva obory splynuly. Jejich rozdíly jsou takové, jako jsou rozdíly mezi chlapcem a mužem: logika je dětstvím matematiky a matematika dospělostí logiky.“ (Kemeny, 1959) [32]
Ať už jsou názory logiků a matematiků jakékoli, psycholog tyto dva obory chápe jako soubor navzájem propojených schopností. Dítě přechází od pozorování předmětů materiálního světa ke stále abstraktnějším formálním systémům, jež vycházejí ze zákonů logiky a vzdalují se světu empirických pozorování. Whiteheadovi stačilo pár slov: „Pokud se zabýváte čistou matematikou, nacházíte se v království úplné a absolutní abstrakce.“ (Whitehead, 1948) [33] Matematik se stává obyvatelem světa myšlených objektů a konceptů, které nemusí mít přímou souvislost se světem každodenní reality, a podobně se i zájem logiků zaměřuje především na vztahy mezi výroky, přičemž vztah těchto výroků ke světu empirické skutečnosti zůstává stranou. Jiné vědecké obory si však přímý vztah ke světu praxe zachovávají.
Vědec se věnuje tvrzením, modelům a teoriím, které musí odpovídat logickým zákonům a umožňují matematické zpracování, avšak přitom si musí zachovat srozumitelný a trvalý vztah k faktům, která byla (a budou) objevena. Neplatí to však beze zbytku. Vědecká teorie často přetrvá, i když se najdou některá fakta, která jí odporují. Naopak některé nové objevy mohou pozměnit i matematické zákony, protože s nimi vzniknou i nové požadavky na matematické systémy. (Quine, 1966) [34]
7.2 Matematikovo dílo
Zatímco to, co vytvářejí lidé, kteří mají jazykové či hudební nadání, je přístupné široké veřejnosti, situace u matematiky je v tomto ohledu zcela opačná. Kromě několika málo zasvěcených může většina z nás obdivovat matematické ideje a díla jen z uctivé dálky. Jeden z předních současných matematiků, Andrew Gleason, názorně popisuje neutěšený stav věcí:
Už odedávna je těžké předat neodborníkovi jen pouhé tušení, jak to vypadá za hranicí, kde začíná matematika … Topologie, věda o uspořádání prostoru, se podobá chrámům některých církví. Ti, kteří nebyli zasvěceni do mysteria víry, vidí chrám jen z vnější strany. (Gleason, 1969) [35]
Význačný vědec a filozof Michael Polanyi se přiznal, že i jemu samému chybí potřebné intelektové vybavení k tomu, aby porozuměl mnoha současným aspektům matematiky, které členové klanu považují za relativně triviální (oblíbený obrat matematiků). Náročnost matematického myšlení můžeme vytušit, když se pokusíme rozluštit význam následující věty:
Nemůžeme dokázat výrok, který jsme získali tím, že jsme do výrokové formy „nemůžeme dokázat výrok, který jsme získali dosazením názvu příslušné výrokové formy do výrokové formy“ dosadili za proměnnou název příslušné výrokové formy. (Polanyi, 1958) [36]
Polanyi podotýká, že chceme-li této větě porozumět, musíme si ji vyjádřit symbolicky a pak provést se symboly několik operací. K porozumění sériím jazykových symbolů budeme přitom potřebovat něco víc než jen syntaktické a sémantické schopnosti (bez jazykových schopností uvedenou větu ovšem „vyřešit“ nedokážeme).
Když jsem se snažil hlouběji proniknout do matematického způsobu myšlení, zaujaly mě (stejně jako mnoho jiných) introspektivní postřehy, které nám zanechal Henri Poincaré; vyslovil zajímavou otázku: Proč vlastně matematika, která je založena jen na logických pravidlech pochopitelných všem normálně myslícím lidem, představuje pro některé lidi tak těžko srozumitelný obor? Možnou odpověď Poincaré naznačuje tím, že žádá čtenáře, aby si představil dlouhou řadu úsudků, ve které závěr jednoho úsudku slouží jako premisa úsudku následujícího. Mezi uvědoměním si věty, jež tvoří závěr jednoho úsudku, a jejím opětovným vybavením jako premisy úsudku následujícího, uplyne určitý čas. Může dojít k tomu, že nám některé články řady v tomto čase vypadnou, nebo se může stát, že větu zapomeneme nebo v něčem podstatném pozměníme.
|
