Funkce

Vypracoval R. Foldyna

Definice

Je-li ke každému reálnému číslu x z množiny M[x] (kde M[x] je podmnožinou reálných čísel) přiřazeno právě jedno číslo y z množiny M[y] (kde M[y] je podmnožinou reálných čísel), nazýváme toto přiřazení reálnou funkcí reálné proměnné .

Funkce zpravidla označujeme písmeny f, g, phi , F, G. Množina M[x] z definice se nazývá obor funkce , nebo definiční obor funkce a značíme jej zpravidla D(f) . Symbol x , označující libovolné číslo z množiny M[x] , se nazývá proměnná nebo argument funkce . Číslo y přiřazené funkcí f k číslu x se označuje tež f(x) a nazýváme je hodnotou funkce f v bodě x ; píšeme y = f(x)

Graf funkce

V rovině zvolíme kartézskou soustavu souřadnic (tj. dvě k sobě navzájem kolmé číselné osy se společným počátkem 0 a stejnou délkovou jednotkou). Na jedné ose (ose x ) zvolíme bod x a v tomto bodě sestrojíme kolmici k ose x . Obdobně na druhé ose (ose y ) zvolíme bod f(x) a sestrojíme v něm kolmici k ose y . O průsečíků obou kolmic pak říkáme, že má souřadnice [x,f(x)] .

Grafem funkce nazýváme množinu všech bodů o souřadnicích [x, f(x)] , kde x je libovolné číslo
z definičního oboru funkce
f a f(x) je příslušná funkční hodnota.

Způsoby zadání funkce

Z definice funkce je zřejme, že k určení funkce je třeba zadat :

a) definiční obor funkce

b) funkční předpis , tj. způsob přiřazení funkčních hodnot k proměnným.

Funkční předpis mívá nejčastěji podobu vzorce (někdy může být dán i několika vzorci), z něhož je patrné, které operace je třeba provést s proměnnou x , abychom dostali příslušnou funkční hodnotu. V tomto případě se říká, že funkce je zadána analyticky .

Není-li u funkčního předpisu uveden definiční obor funkce f , je zvykem brát za definiční obor množinu všech čísel x , proněž existují funkční hodnoty f(x) . V tomto případě pak mluvíme o existenčním oboru funkce nebo maximálním definičním oboru funkce .

V některých případech může být funkce zadána výčtem funkčních hodnot pro všechny hodnoty proměnné x . Takto zadaná je například funkce signum , která je rovna -1 pro x<0, 1 pro x>0 a 0 pro x=0.

Funkci lze zadat také graficky , tj. nakreslením jejího grafu.

Příklady zadání funkcí a jejich grafy

> restart;

Příklad funkce zadané jedním vzorcem, je například funkce f daná funkčním předpisem y=2x , která ke každému reálnému číslu přiřadí jeho dvojnásobek.

> f:=y=2*x;

f := y = 2*x

> smartplot[x,y](f);

[Maple Plot]

Příkladem funkce zadané více vzorci je například absolutní hodnota, která se značí abs(x) a je zadána následovně : abs(x) = x pro x z intervalu (0, infinity ) a abs(x) = -x pro x<0.

> smartplot(abs(x));

[Maple Plot]

Příkladem funkce zadané výčtem, je již zmiňovaná funkce signum.

> smartplot(signum(x));

[Maple Plot]

Základní vlastnosti funkcí

Prostost

Funkce se nazývá prostá , jestliže pro každé dva různé prvky x , y z definičního oboru funkce jsou
i jejich funkční hodnoty různé.
Prostou funkcí je například funkce
y = 2x+1 .

> f:=y=2*x+1;

f := y = 2*x+1

> smartplot[x,y](f);

[Maple Plot]

Monotónnost

Řekneme, že funkce je rostoucí , jestliže pro každé dva body x , y z definičního oboru
funkce takové, že
x > y platí f(x) > f(y) .

Příkladem rostoucí funkce je exponencionální funkce

> plot(exp,-5..5);

[Maple Plot]

Řekneme, že funkce je klesající , jestliže pro každé dva body x , y z definičního oboru
funkce takové, že
x > y platí f(x) < f(y) .

Například funkce y = -x

> f:=y=-x;

f := y = -x

> smartplot[x,y](f);

[Maple Plot]

Řekneme, že funkce je nerostoucí , jestliže pro každé dva body x , y z definičního oboru
funkce takové, že
x > y platí f(x) < f(y) nebo f(x) = f(y) .

Řekneme, že funkce je neklesající , jestliže pro každé dva body x , y z definičního oboru
funkce takové, že
x > y platí f(x) > f(y) nebo f(x) = f(y) .

Funkce rostoucí , klesající , nerostoucí a neklesající se nazývají monotónní funkce.

Omezenost

Funkce f se nazývá shora omezená , jestliže existuje číslo k takové, že pro všechna x z definičního oboru platí k > f(x) .
Například funkce
y = 2- x^2 je shora omezená číslem 2

> f:=y=2-x^2;

f := y = 2-x^2

> smartplot[x,y](f);

[Maple Plot]

Funkce f se nazývá zdola omezená , jestliže existuje číslo k takové, že pro všechna x z definičního oboru platí k < f(x) .
Například funkce
y = je zdola omezená číslem 0

> f:=y=x^2;

f := y = x^2

> smartplot[x,y](f);

[Maple Plot]

Funkce se nazývá omezená , je-li omezená shora i zdola .
Například funkce sinus je shora omezená číslem 1 a zdola číslem -1

> smartplot(sin(x));

[Maple Plot]

Sudost a lichost

Funkce f se nazývá sudá funkce jsou-li současně splněny podmínky

a) pro každé x z definičního oboru funkce je také -x z definičního oboru funkce

b) pro každé x z definičního oboru funkce je f(-x) = f(x) .
Příkladem sudé funkce je druhá mocnina čísla
x .

> f:=y=x^2;

f := y = x^2

> smartplot[x,y](f);

[Maple Plot]

Funkce f se nazývá lichá funkce jsou-li současně splněny podmínky
a) pro každé
x z definičního oboru funkce je také -x z definičního oboru funkce
b) pro každé
x z definičního oboru funkce je f(-x) = -f(x) .
Příkladem liché funkce může být třetí mocnina čísla
x .

> f:=y=x^3;

f := y = x^3

> smartplot[x,y](f);

[Maple Plot]

Periodicita

Funkce se nazývá periodická funkce existuje-li takové číslo p > 0 , že pro každé celé
číslo
k platí podmínky:
a) je-li
x z definičního oboru funkce, je i (x+kp) z definičního oboru funkce
b)
f(x+kp) = f(x)
Číslo
p se nazývá perioda funkce . Pokud v množině čísel, které jsou periodami periodické
fukce, existuje nejmenší kladné číslo, nazveme ho
nejmenší perioda funkce .

Periodickou funkcí je například funkce sinus s nejmenší periodou 2 Pi

> plot(sin,0..6*Pi);

[Maple Plot]

>