Elementární funkce

Vypracoval Robert Foldyna

> restart;

Konstantní funkce

Konstantní funkce y = k , kde k je zadané reálné číslo, je definovaná na celém intervalu reálných čísel ( D(f) = (- infinity , infinity ) ) a její obor funkčních hodnot je roven číslu k ( H(f) = k ).

Grafem je přímka rovnoběžná s osou x , a procházející bodem [0, k ].

Konstantní funkce je nerostoucí a neklesající .

Zde je graf pro k = 2 .

> f:=y=k;

f := y = k

> f:=2;

f := 2

> smartplot[x,y](f);

[Maple Plot]

Lineární funkce

Linerní funkce má předpis y = kx + q , kde k,q jsou reálná čísla a k je různé od 0 . Definičním oborem i oborem funkčních hodnot jsou všechna reálná čísla ( D(f) = H(f) = (- infinity , infinity ) ).

Je-li k >0, je funkce rostoucí , je-li k <0, je funkce klesající .

Grafem lineární funkce je přímka procházející body [0, q ] a [1, k+q ].

> plot(2*x-1,x=5..-5);

[Maple Plot]

Význam jednotlivých koeficientů

Koeficient k

rozhoduje o sklonu přímky (velikosti úhlu svíraného s osou x).

Porovnání grafu funkce y = kx, pro k rovno pořadě 2(červená), 1(modrá), 0.5(zelená), -0,75(žlutá) a -2(šedá)

> plot([2*x,x,0.5*x,-0.75*x,-2*x],x=-5..5,y=-5..5, color=[red,blue,green,yellow,gray]);

[Maple Plot]

Koeficient q

rozhoduje o vertikálním posunutí přímky (přímka protne osu y v bodě q ). Je-li q = 0 , prochází přímka bodem [0,0] a funkce je pak lichá.

Porovnání grafu funkce y = x + q, pro q rovno pořadě 2(červená), 0(modrá) a -1(zelená)

> plot([x+2,x,x-1],x=-5..5,y=-5..5, color=[red,blue,green]);

[Maple Plot]

Kvadratická funkce

Kvadratick funkce je tvaru y = a x^2 + bx + c , kde a,b,c jsou reálná čísla a a je různé od 0. Definičním oborem jsou všechna reálná čísla ( D(f) = (- infinity , infinity ) ). Obor funkčních hodnot je pro a >0 omezen zdola číslem c - b^2/(4*a) , tzn. H(f) = ( c - b^2/(4*a) , infinity ) a pro a < 0 je omezen stejným číslem shora ( H(f) = (- infinity , c - b^2/(4*a) ) ).

Je-li a > 0 , je funkce omezená zdola a je klesající pro všechna x > - b/(2*a) a rostoucí pro
šechna
x < b/(2*a) .
Je-li
a < 0 , je funkce omezená shora a je rostoucí pro všechna x < - b/(2*a) a klesající pro
všechna
x > - b/(2*a) .

Je-li b = 0 , je funkce sudá .

Grafem je parabola , jejíž osou je rovnoběžka s osou y a vrchol má souřadnice x[0] = - b/(2*a) , y[0] = - (b^2-4*ac)/(4*a) .

> plot(2*x^2+3*x-1,x=-5..5,y=-4..10);

[Maple Plot]

Význam jednotlivých koeficientů

Koeficient a

Pro a > 0 je parabola otevřena směrem nahoru, pro a < 0 je otevřena směrem dolů.
Čím větší je
abs(a) tím je parabola užší.

Porovnání grafů funkce y = a x^2 pro a rovno postupně 1(červená), 2(modrá), 0.5(zelená), -1(žlutá), -3(šedá).

> plot([x^2,2*x^2,0.5*x^2,-x^2,-3*x^2],x=-5..5,y=-5..5, color=[red,blue,green,yellow,gray]);

[Maple Plot]

Koeficient b

posunuje obě souřadnice vrcholu. V případě, že je koeficient b roven 0 , je funkce sudá .

Porovnání grafů funkce y = x^2 + bx pro b rovno postupně 0(červená), 1(modrá), 2(zelená), -1(žlutá), -0.5(šedá).

> plot([x^2,x^2+1*x,x^2+2*x,x^2-1*x,x^2-0.5*x],x=-3..3,y=-3..3, color=[red,blue,green,yellow,gray]);

[Maple Plot]

Koeficient c

posunuje parabolu ve směru osy y .

Porovnání grafů funkce y = x^2 + c pro c rovno postupně 0(červená), 1(modrá), -2(zelená).

> plot([x^2,x^2+1,x^2-2],x=-5..5,y=-5..5, color=[red,blue,green]);

[Maple Plot]

Exponencionální funkce

Exponencionální funkce má předpis y = a^x , kde a > 0 . Definičním oborem jsou všechna reálná čísla ( D(f) = (- infinity , infinity ) ). Oborem funkčních hodnot pro a = 1 je číslo 1 ( H(f) = {1} ), pro a různé od jedné jsou to všechna kladná reálná čísla ( H(f) = (0, infinity ) )

Je-li a> 1, je funkce rostoucí , je-li 0<a<1, je funkce klesající .

Grafem exponencionální funkce je exponencionální křivka (exponencionála) procházející bodem [0,1].

> plot(2^x,x=-3..3);

[Maple Plot]

Význam koeficientu a

Koeficient a rozhoduje o rychlosti nárustu křivky. Platí, že grafy funkcí pro a a 1/a jsou souměrné podle osy y.

Porovnání grafů funkce y = a^x pro a rovno postupně 2(červená), 1/2 (modrá), 1(zelená), 4(žlutá), 1/4 (šedá).

> plot([2^x,1/2^x,1^x,4^x,1/4^x],x=-5..5,y=-1..5, color=[red,blue,green,yellow,gray]);

[Maple Plot]

Logaritmická funkce

Logaritmická funkce má předpis y = log[a](x) , kde a > 0 a různé od 1 . Definičním oborem jsou všechna kladná reálná čísla ( D(f) = (0, infinity ) ). Oborem funkčních hodnot jsou všechna reálná čísla ( H(f) = ( infinity , infinity ) ).

Je-li a> 1, je funkce rostoucí , je-li 0<a<1, je funkce klesající . Logaritmická funkce ja inverzní k exponencionální funkci.

Grafem logaritmické funkce je logaritmická křivka procházející vždy bodem [1,0].

> plot(log[3](x),x=-1..5);

[Maple Plot]

Význam koeficientu a

Koeficient a rozhoduje o rychlosti nárustu křivky. Platí, že grafy funkcí pro a a 1/a jsou souměrné podle osy x.

V maple se logaritmická funkce značí log[a](x) .

Porovnání grafů funkce y = log[a](x) pro a rovno postupně 2(červená), 1/2 (modrá), 1(zelená), 4(žlutá), 1/4 (šedá).

> plot([log[2](x),log[1/2](x),log[e](x),log[4](x),log[1/4](x)],x=-1..5,y=-5..5, color=[red,blue,green,yellow,gray]);

[Maple Plot]

Je-li a = e jedná se o takzvaný přirozený logaritmus , v maple ho značíme ln(x).

> plot(ln(x),x=-1..5);

[Maple Plot]

Goniometrické funkce